Сторінка
5

Варіаційні принципи теоретичної механіки

Формула (23) показує, що швидкість руху точки, а значить, і час переміщення її з початкового положення А в кінцеве положення В в уявному русі залежать від форми траєкторії.

2.3.2. Доведення принципу.

Нехай голономна система з стаціо­нарними зв'язками рухається в потенціальному силовому полі і V — потенціальна енергія. За вихідне візьмемо загальне рівняння динаміки у вигляді:

(індекс k опустимо):

(24)

де – елементарна робота активних сил на уявному переміщенні; δх, δу, δz – варіації координат точок системи. За правилом диференціювання маємо:

(25)

У розглядуваному випадку не тільки координати х,у,г, a й час t варіюються. Це видно з того, що час приходу системи в кінцеве положення в уявному русі, як з'ясовано вище, залежить від вибору траєкторії. Тому параметр t тут не можна розглядати як незалежну змінну, що не варіюється. Це означає, що рівність яка вище була доведена для випад­ку, коли t не варіюється, тут не справджується. Згадану рів­ність слід замінити новою.

Нову формулу для в розглядуваному загальному випадку легко знайти, вводячи нову незалежну змінну s, від якої, за припущенням, зале­жать х і t(s може бути, наприклад, дугою траєкторії точки). Оскільки властивості варіації аналогічні властивостям диференціалу, то за тими самими правилами, що й для диференціалу, знаходимо:

(26)

де штрих означає похідну по незалежній змінній s. У формулі (26) δx ́ , δt ́ можна обчислити за правилом тому що –похідні по незалежній змінній s. Тому

(27)

З формул (26) і (27) знаходимо

або, коли зробити заміну та виключити незалежну змінну s, яка вже відіграла свою допоміжну роль, дістанемо:

або

(28)

Ця формула і є узагальненням рівності (8) на випадок, коли варіюються обидві функції х і t. Аналогічно, вводячи незалежну змінну s, обчислимо варі­ацію інтеграла:

У правій частині підінтегральний вираз можна розглядати як складну функ­цію незалежної змінної s; межі інтегрування по змінній s вважаються фіксо­ваними. За таких умов операції d і f комутативні [див. (13)]:

(29)

Обчисливши варіацію добутку двох функцій і підставивши це значення в (29), отримаємо:

(30)

Ця формула є узагальненням рівності (13) на випадок, коли змінна інте­грування варіюється.

Після встановлення двох нових формул (28) і (30) для варіацій продовжимо доведення принципу Ейлера — Лагранжа. На підставі (28) рівність (25) перепишемо так:

.

Використовуючи цю і дві аналогічні рівності, знайдемо з (24):

(31)

Третій і четвертий доданки можна переписати, використову­ючи формули для кінетичної енергії системи та її варіації, а саме:

Відповідна заміна (в (31)) дає:

(32)

На підставі закону збереження енергії Т + V = Н знаходимо, що δV=δT. Ліву частину (32) перетворимо і тоді (32) буде:

(33)

Виключимо далі з лівої частини цієї рівності час на підставі закону збереження енергії:

звідки

(34)

Підставимо (34) в (33) і напишемо індекси, які раніше опускали; в результаті дістанемо:

(35)

Проінтегруємо цю рівність у дійсному русі системи від почат­кового її положення (А) до кінцевого (В). Інтеграл від правої частини дорівнює нулю, бо кінцеві положення системи в уявному русі такі самі, як і в дійсному (координати кінцевих положень не варіюються). Отже, з (35) знаходимо:

або, оскільки межі інтегрування фіксовані:

(36)

Ця рівність визначає принцип Ейлера—Лагранжа у формі, яку вказав Якобі.

Інтеграл із змінною верхньою границею М

) (37)

називається дією системи за Якобі.

Принцип Ейлера—Лагранжа формулюється так:

Дійсний рух механічної системи з стаціонарними голономними зв'язками в потенціальному силовому полі відрізняється від усіх інших, порівнюваних з ним кінематично можливих (у розумінні Ейлера-Лагранжа) рухів тим, що для довільних двох фіксованих положень системи перша варіація дії за Якобі для дійсного руху дорівнює нулю.

У випадку однієї матеріальної точки, яка рухається при стаціонарних зв'язках у стаціонарному силовому полі, дія за Лагранжем у формі Якобі матиме вигляд: