Сторінка
1

Маятники

Фізичним маятником (ФМ) називається тверде тіло, що може коливатися під дією сили ваги навколо горизонтальної вісі (не минаючої через центр маси тіла).

При коливанні ФМ як би обертається навколо осі О (мал. 1). Отже, рух маятника підкоряється основному рівнянню динаміки обертального руху:

чи М = I e , (1)

де М - момент сили ваги щодо осі ПРО; I - момент інерції маятника щодо тієї ж осі; - кутове прискорення маятника.

З рис 1 видно, що

М = - mgb Sin j , (2)

де: m - маса маятника;

b Sin j - плече сили ваги mg;

b - відстань від крапки підвісу Про до центра мас С.

Знак “-” означає, що обертаючий момент М прагне зменшити кут j, що характеризує положення маятника стосовно рівноважного стану. Більш строго зміст знака “-” порозуміваються так: псевдовектори моменту сил і зсуву від положення рівноваги спрямовані в протилежні сторони (для ситуації, зображеної на мал. 1 перший спрямований за площину креслення, а другий - з цієї площини на спостерігача). Пам'ятаючи, що , і з огляду на (1), рівняння (2) запишемо у виді

(3)

При малих відхиленнях маятника (саме цей випадок ми і будемо мати на увазі) Sin j » j, а тому рівність (3) після розподілу на I прийме вид

(4)

Величина mgb/I, як сугубо позитивна, може бути замінена квадратом деякого числа: mgb / I º w02 (5)

Тоді рівняння (4) можна переписати як

(6)

Використовуючи пряму підстановку, переконуємося, що рішенням рівняння (3.6) є вираження

j = j0 Cos (w0t + a) . (7)

Це свідчить про те, що ФМ робить у цих умовах незатухаючі гармонійні коливання з циклічною частотою w0. j0 і a - постійні (амплітуда і початкова фаза), що залежать від початкових умов.

Період коливань ФМ

(8)

I / mb має розмірність довжини. Ця величина позначається через Lі називається приведеною довжиною ФМ:

L = I / mb (9)

Таким чином,

(10)

Порівнюючи (10) з формулою для періоду коливань математичного маятника T = , де l - довжина математичного маятника, бачимо, що приведена довжина ФМ - це довжина такого математичного маятника, у якого період коливань збігається з періодом коливань даного ФМ. Легко помітити, що L > b. Справді, відповідно до теореми Штейнера I = Iс + mb2, де Ic - момент інерції маятника щодо осі, що проходить через центр мас. Отже, по вираженню (9)

(11)

відкіля видно, що L>b.

Точку О1 (див. мал. 1), що відстоїть від О на відстані L, називають точкою хитань.