Сторінка
2

Моделювання інфляційних процесів

.

З огляду на співвідношення (6) і те, що є розв’язками відповідного однорідного рівняння, маємо:

. (7)

Розв’язуючи рівняння (6) і (7), одержимо:

,

,

А звідси:

,

.

Таким чином, частковий розв’язок рівняння (4) має вигляд:

.

Отже, загальний розв’язок приймає такий вигляд:

,

де константи, що визначаються з початкових умов.

Використовуючи початкові умови, одержуємо значення невідомих констант:

,

.

Отже, загальний розв’язок рівняння (4) має такий вигляд:

.

Отриманий розв’язок зручно використовувати для прогнозування процесу інфляції.

Прогнозоване значення на – періодів дискретизації змін можна записати при , як :

,

Де , початкові умови щодо -го моменту часу.

Функція прогнозування на кроків має вигляд:

.

Використовуючи отримане рівняння, можна записати функції прогнозування на декілька кроків. Наприклад,

: ,

:

,

:

.

Оцінювання якості прогнозу. Для оцінки якості моделі необхідно визначити, наскільки добре модель описує реальний часовий ряд. Завжди рекомендується робити ретроспектив­ний прогноз після моделювання. Для оцінки якості прогнозу застосовують такі формальні критерії:

– формальні статистики (див. нижче);

– поворотні точки (точки перегину);

– чутливість до зміни початкових умов;

– чутливість до зміни коефіцієнтів.

Формальними статистиками перевірки якості прогнозу є наступні:

Середньоквадратична помилка RSME:

RSME =.

Середня помилка ME:

ME =.

Середня процентна помилка MPE:

MPE =.

Середня процентна абсолютна помилка MAPE:

MAPE =.

Коефіцієнт нерівності Тейла U:

.

Відношення упередженості:

.

Відношення варіацій:

.

Відношення коваріацій:

.

RSME, як міра точності, є стандартним відхиленням залишків. ME вимірює уперед­женість в оцінюванні. За припущенням, середня помилка повинна дорівнювати нулю, інакше в оцінці присутній зсув (іноді його називають упередженістю). Середня процентна помилка MPE забезпечує відносну оцінку зсуву прогнозу. МАРЕ подібна RSME, але вона є відносною мірою точності моделі.

Коефіцієнт нерівності Тейла є дуже важливим індикатором точності моделі і її відпо­від­ностей ряду. При побудові його величина знаходиться між 0 і 1, якщо U = 1, модель не може бути використана для прогнозування. Прогнозований і реальний ряди є некоре­льованими. У протилежному випадку, якщо U = 0, прогнозовані ряди збігаються з реаль­ними, і модель є адекватною.

Цей коефіцієнт може бути розкладений на суму таких складових: складова, що харак­теризує систематичне відхилення , відношення варіацій і відношення коваріацій . використовується для перевірки наявності систематичних відхилень, середніх для реальних і прогно­зованих рядів. Інакше кажучи, відбувається визначення факту – чи модель постійно перевищує, чи зменшує прогноз. Чим меншою є величина , тим краще. Якщо = 0, то в прогнозованих значеннях відсутній зсув і модель є якісною.

Відношення варіацій використовується для перевірки того, що модель має достатньо динамічних властивостей для поглинання варіації реальних рядів. Наприклад, модель може забезпечити менші систематичні коливання, ніж коливання реальних рядів. Анало­гічно , менші значення є індикатором меншого зсуву.