Сторінка
2

озробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Якщо вузли вибрати з міркувань зручності (рівномірно розташованими ,), а коефіцієнти - з міркувань точності, то у випадку отримаємо квадратурні формули Ньютона - Котеса.

Якщо вузли вибрати з міркувань точності, а коефіцієнти - з міркувань зручності (всі коефіцієнти однакові), то добудемо квадратурні формули, що носять ім’я Чебишова.

Обгрунтування інтерполяційних квадратурних формул будується на наступних висновках .

Нехай на відрізку інтегрування якось зафіксовані різні між собою вузли , і будемо вибирати лише коефіцієнти () так, щоб формула (1.4) була якомога точнішою. Припускаємо, , тобто функія і всі її похідні до порядку включно є неперервними на відрізку . Візьмемо квадратурні вузли як вузли інтерполяції (оскільки вони всі з відрізку інтегрування та всі різні між собою), та побудуємо інтерполяційний багаточлен для функції . Будемо мати таку рівність

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Розглянемо тепер інтеграл від функції

(1.9)

підставимо (1.6), (1.7), (1,8) до формули (1.9)

(1.10)

Якщо позначити

(1.11)

(1.12)

то інтеграл (1.10) можна переписати у вигляді

(1.13)

Відкинувши у (1.13) похибку , добудемо наближену формулу (1.4).

Означення. Квадратурна формула (1.4) будемо називати інтерполяційною, якщо квадратурні коефіцієнти ,визначаються формулами (1.11). Нагадаємо, що квадратурні вузли при цьому всі різні та всі розташовані на відрізку інтегрування, в усьому іншому вони довільні.

Формула (1.12) визначає похибку інтерполяційної квадратурної формули. З похибки видно, що алгебраїчний степінь точності інтерполяційної квадратурної формули дорівнює . Збільшити степінь точності можна лише за рахунок вибору вузлів .

Квадратурні формули при сталій ваговій функції та з рівновіддаленими вузлами називають формулами Ньютона-Котеса у пам’ять того, що вперше вони в достатньому загальному вигляді були розглянуті Ньютоном, коефіцієнти вперше були добуті Котесом .

Кінечний відрізок інтегрування ділимо на рівних частин довжини , точки ділення беремо за вузли інтерполяційної формули. Спростимо вигляд квадратурних коефіцієнтів ,, які визначаються формулою (1.11), підставивши туди

,.

Крім того перейдемо до нової змінної інтегрування , де

Для виконання всіх цих дій спочатку розглянемо добуток у формулі (1.11)

(1.14)

Підставимо добуток (1.14) до формули (1.11) та перейдемо до нової змінної, будемо мати

(1.15)

Де

(1.16)

Квадратурна формула Ньютона-Котеса приймає вигляд

(1.17)

Алгебраїчна степінь точності формули (1.17) дорівнює . Коефіцієнти (1.16) називаються коефіцієнтами Котеса. Вони мають властивості:

. Дійсно, підставимо до формули (1.17) , тоді , при цьому наближена формула стає точною. Виконуємо інтегрування властивість доведена.

, тобто рівновіддалені від кінців коефіцієнти формули Ньютона -Котеса є однаковими. Дійсно, маємо з формули (1.16)

Зробимо заміну змінної інтегрування тоді

В добутку перейдемо до нового індексу і властивість доведена

3. Коефіцієнти не залежать від довжини відрізка інтегрування та підінтегральної функції, тому вони можуть бути обчислені раз і назавжди

В залежності від вибраного параметра n отримана загальна форма квадратурних рівнянь розподіляється на випадки:

1) Коли , то застосовуєма форма квадратурних рівнянь називається - „квадратурна формула трапеції”;