Сторінка
4

Аксiоми, iтуїцiя, домовленiсть

Боротьба Пуанкаре проти логiцизму мала ще один наслiдок. Вона була спрямована проти методологiї iндуктивiзму, який багато в чому базувався на аналiтичних iдеях логiцизму. Виступи Пуанкаре з кри­­­тикою логiцизму, пiдтриманi Бутру, Мейєрсоном, Бреншвiгом мали визначне значення, оскiльки поставили перепону на шляху розповсюд­­­ження емпiризму у французькiй фiлософiї.

З критикою логiцизму був пов'язаний ще один аспект творчостi Пуанкаре. Це стосується канторової теорiї множин.

Як i багато iнших математикiв, Пуанкаре вважав несуперечливiсть найвищим критерiєм повноцiнностi математичної теорiї. Але на межi ХIХ i ХХ столiть у теорiї множин виявились суперечностi, до яких приводять цiлком вiрнi у логiчному вiдношеннi мiркування. Саме цi невирiшуванi парадокси й вiдвернули Пуанкаре вiд теорiї множин. Вiн ставив пiд сумнiв її право на iснування, поскiльки окремi її положення суперечили одне одному. Тому вiн виступив: проти засто­­­совування "трансфiнiтних чисел", введених Кантором; з критикою аксiоматики Цермело; проти теорiї типiв Рассела; критикував непре­­­дикативнi визначення в математицi. На думку Пуанкаре, аксiома Цер­­­мело (1904 р.) являла собою апрiорне синтетичне судження, а тому всi спроби Рассела довести цю аксiому вiн вважав безнадiйними.

Пуанкаре також був iнiцiатором сучасної постановки проблеми непредикативностi. В якостi непредикативних означень вiн розглядав визначення, що побудованi за принципом зачарованого кола - коли мiркування, що веде до бажаного результату, само спирається на те, що з його допомогою треба визначити. Джерелом непредикативностi i всiх суперечностей у теорiї множин Пуанкаре вважав основне поняття цiєї теорiї - актуальну нескiнченнiсть. Тому, на його думку, це поняття слiд виключити з математичного вжитку, i це дасть змогу вийти з парадоксiв теорiї множин.

Такi самi зауваження можна навести i стосовно "герменевтичного кола", коли замiсть аксiоматичного введення роблять спробу преди­­­кацiї, тим самим потрапляючи у "зачароване коло" нескiнченого регресу предикатiв.

Перший такий парадокс виявив у 1897 роцi iталiйський математик Буралi-Фортi. Пiзнiше, у 1899 роцi, ще одна антиномiя була виявле­­­на Кантором. Тодi цi парадокси ще не усвiдомлювалися фундаменталь­­­но. Але нищiвного удару по теорiї множин завдало вiдкриття пара­­­доксу Рассела, оскiльки вiн витiкав прямо з визначення множини, даного Кантором. Невдовзi були вiдкритi парадокс Рiшара (1905 р.), парадокс Греллiнга (1908 р.) та iншi. Виявилось, що в теорiї мно­­­жин має мiсце навiть парадокс "брехун", що був вiдомий ще давнiм грекам.

Справа ускладнювалась тим, що теорiя множин на той час складала пiдгрунтя практично всiєї математики. Виявлення парадоксiв показа­­­ло, що фундамент цього пiдгрунтя сам є досить хитким. Самi основи математики й логiки виявились невирiшуваними суперечностями. Вiдбувся крах, здавалося б, непохитних понять та уявлень - тобто, iнакше кажучи, криза пiдвалин математики.

Ця криза рiзко загостриила боротьбу мiж такими течiями, як логiцизм, iнтуїцiонiзм i формалiзм. Виступи Пуанкаре проти логiцизму i припустимостi актуальної нескiнченностi, розробка ним вчення про математичну iнтуїцiю були одним з джерел виникнення iнтуїцiонiзму як одного з напрямкiв у обгрунтуваннi математики. Для прихильникiв iнтуїцiонiзму характерним є вiдкидання абстракцiї актуальної нескiнченностi i "чистих" теорем iснування, а також неприйняття необмеженого застосування закону виключеного третього.

Конвенцiональна позицiя Пуанкаре може розглядатись як вельми близька до математичного iнтуїцiонiзму. Близькiсть iдей Пуанкаре i основоположника iнтуїцiонiзму Брауера багато дослiдникiв вiдзнача­­­ють навiть у назвах поглядiв Пуанкаре: Френкель i Бар-Хiллел виз­­­начають його позицiю як раннiй iнтуїцiонiзм, Бет - як напiвiнту­­­їцiонiзм. Сам же Брауер охарактеризував Пуанкаре як одного з керiвникiв передiнтуїцiонiстської школи.

При гносеологiчнiй характеристицi геометрiї Пуанкаре висловив ряд положень, на пiдставi котрих його фiлософiю науки почали iме­­­нувати конвенцiоналiзмом. Вiн стверджував, що "геометричнi аксiоми не являють собою нi математичних суджень a priori, анi актiв досвiду. Вони є конвенцiями ."[3.-с.40]. Iнше формулювання Пуан­­­каре пiдкреслює довiльнiсть i суб'єктивнiсть конвенцiй: "Цi кон­­­венцiї є витвором вiльної творчостi нашого розуму, котрий в деякiй галузi не знає жодних перешкод. Тут вiн може стверджувати, оскiль­­­ки вiн же i робить собi приписи . Цi приписи мають значення для нашого пiзнання, яке без них було б неможливим, але вони не мають значення для природи"[3. -с.41]. Iншi характеристики геометричних аксiом-конвенцiй наближують позицiю Пуанкаре до прагматизму: "Нiяка геометрична система не може бути вiрнiшою за iншу; вона мо­­­же бути лише бiльш зручною"[3. -с.53]. Всi цi характеристики гео­­­метричних аксiом, якi вiдносяться Пуанкаре також i до фундамен­­­тальних положень фiзики, повнiстю вiдповiдають загальноприйнятому визначенню сутностi конвенцiоналiзму.

Однак, для точного визначення позицiй Пуанкаре необхiдно з'ясу­­­вати, що саме вiн розумiв пiд конвенцiями, який смисл вкладав у поняття "зручнiсть" i чи ототожнював "вiльну творчiсть нашого ро­­­зуму" при виробленнi конвенцiй з їх повною довiльнiстю.