Сторінка
5
За формулою (2.11) знаходимо . Врахувавши властивості коефіцієнтів Котеса, знаходимо .
Після підстановок знайдених коефіцієнтів Котеса в формулу (2.3.1), отримуємо квадратурну формулу, яка називається „формулою Симпсона” або „формулою парабол”:
(2.3.2)
Рис.2.7 Геометричне тлумачення „формули парабол"
Назва квадратурної формули (2.3.2) як „формула парабол" випливає з геометричного тлумачення інтеграла, якщо криву замінити параболою, що проходить через три точки (на рис.2.7 парабола показана пунктиром) і наближене значення інтеграла обчислювати як площу криволінійної трапеції, яка зверху обмежена графіком цієї параболи.
Знайдемо залишковий член квадратурної формули Симпсона. Для цього з наближеної рівності (2.3.2) запишемо формулу для похибки
(2.3.3)
Розкладемо функцію у ряд Тейлора в околі точки , припускаючи функцію такою, що розкладання можливе:
Знайдемо точне значення інтеграла:
(2.3.4)
Тепер знаходимо
(2.3.5)
Підставимо (2.3.3) і (2.3.5) у праву частину рівності (2.3.4):
Отже похибка квадратурної формули Симпсона може бути записана у вигляді
(2.3.6)
З формули (2.3.6) видно, що алгебраїчний степінь точності квадратурної формули Симпсона дорівнює трьом, тобто ця формула має підвищений степінь точності.
Формулу Симпсона також можна застосовувати не до всього відрізка інтегрування, а до окремих його частин. Для цього поділимо відрізок на частин рівної довжини кожний, як показано на рисунку (2.8)
Рис.2.8 Геометричне тлумачення формули Симпсона
Візьмемо -й подвоєний відрізок, функцію проінтегруємо на цьому відрізку, використовуючи квадратурну формулу (2.3.1) з похибкою (2.3.5)
.
Просумувавши інтеграли за всіма подвоєними відрізками, добудемо узагальнену формулу Сімпсона
Якщо прийняти умову, що відстань між будь-якими двома сусідніми вузлами однакові і дорівнює , то останню формулу можна переписати в більш простому вигляді
Тепер запишемо окремо узагальнену формулу Сімпсона та її похибку
(2.3.7)
(2.3.8)
Геометричне зображення формули (2.3.7) показане на рисунку (2.8).
Наближене значення інтеграла (права частина наближеної рівності (2.3.7) - це площа криволінійної трапеції, яка зверху обмежена кусками парабол (крива показана пунктиром).
На кожному подвоєному відрізку графік функції наближається своєю параболою.
З формули (2.3.7) видно, що з ростом похибка дуже швидко зменшується.
Практичне порівняння точності методів наближеного обчислення інтегралів 3-ма методами
Застосовуючи ці три метода наведемо приклад:
Обчислимо наближене значення інтеграла
,
використовуючи квадратурні формули прямокутників, трапеції та Сімпсона. Для цього підготуємо таблицю значень підінтегральної функції у точках відрізка
Значення підінтегральної функції у вузлах | ||
i |
xi |
f (xi) |
0 |
0 |
0,00000000 |
1 |
0,1 |
0,10049875 |
2 |
0,2 |
0, 20396078 |
3 |
0,3 |
0,31320918 |
4 |
0,4 |
0,43081316 |
5 |
0,5 |
0,55901695 |
6 |
0,6 |
0,69971418 |
7 |
0,7 |
0,85445885 |
8 |
0,8 |
1,0244998 |
9 |
0,9 |
1,2108262 |
10 |
1 |
1,4142135 |