Сторінка
4
(14)
Нехай тепер задано неоднорідне рівняння п- го порядку
(15)
Де - сталі дійсні числа, - неперервна на деякому проміжку функція.
Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв’язком рівняння (15) є функція:
де - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння (12), а у*(х) – частинний розв’язок рівняння (15).
Побудову загального розв’язку рівняння (12) з’ясовано. Проаналізуємо знаходження частинного розв’язку у*(х). Якщо права частина f(x) рівняння (15) є функцією спеціального виду (8), то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати за формулою (9). Якщо права частина f(x) не є функцією виду (8), то для знаходження у*(х) застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння (15) суть цього методу така.
Нехай функція (14) є загальним розв’язком відповідного однорідного рівняння (12). Знаходимо частинний розв’язок рівняння (15) за тією ж формулою (14), вважаючи, що величини С1, С2, ., Сп – функції від х, тобто покладемо
де С1(х), С2(х), ., Сп(х) – невідомі функції.
Складемо систему рівнянь
Розв’язуючи цю систему, знаходимо похідні і=1,2, .,п, а потім інтегруванням і самі функції Сі(х). Якщо взяти всі сталі інтегрування рівними нулю і підставити функції Сі(х) в рівність (16), то матимемо частинний розв’язок рівняння (15); якщо у рівність (16) підставити функції де - довільні сталі, то зразу дістанемо загальний розв’язок.
Приклад.
Розв’язати рівняння
Характеристичне рівняння має корені k1=k2=ks=0, k4=2i, ks=-2i.згідно з теоремою маємо частинні розв’язки: у1=1, у2=х, у3=х2, у4=cos2x . y5=sin2x. Загальний розв’язок даного рівняння знаходимо з а формулою (14):
V. Контрольні питання:
1. Як знаходять характеристичне рівняння диференціального рівняння.
2. Які три випадки можливі, якщо позначити корені характеристичного рівняння через k1 і k2.
3. Сформулювати теорему для диференціальних рівнянь n-порядку.
4. Сформулювати теорему Коші про існування та єдність розв’язку для рівняння y”=f(x, y, y,).
VІ. Література:
1. 1.Барковський В.В. Барковська Н.В. ”Математика для економістів”. 1. Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997 р. – 397 ст. , ст. 10-12, 19-20.
2. 2.Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2001.– 648 с.
Інші реферати на тему «Математика»:
Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні
Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння
Основні поняття математичного програмування. Побудова моделі задачі лінійного програмування
Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)
Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних