Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Зміст

Ø Вступ

Ø Частина І. Лінійні моди коливань та їх поширення у одновимірному молекулярному ланцюжку

Ø Частина ІІ. Нелінійні моди. Поширення колективних збуджень з урахуванням взаємодії електрона з деформацією ланцюжка у довгохвильовому наближенні

o Уточнення моделі поширення збуджень у молекулярному ланцюжку. Фонони і квазічастинки

o Хвильова функція квазічастинки. Операторне представлення фононів. Дисперсія акустичних і оптичних фононів

o Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з акустичними фононами. Континуальна модель. Солітони як розв’язки нелінійного рівняння Шредінґера

o Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з оптичними фононами. Континуальна модель. Зведення рівнянь до НРШ

Ø Частина ІІІ. Дослідження еволюції колективного збудження молекулярного ланцюжка із урахуванням взаємодії з айнштайнівськими оптичними фононами

o Чисельне інтеґрування рівнянь, що описують поширення квазічастинки у полі оптичних фононів. Підготування рівнянь до чисельного інтеґрування

o Початкові та граничні умови. Інтеґрування рівнянь методом Рунґе-Кутта

o Результати чисельних обчислень

Ø Висновки

Ø Посилання

Ø Додаток. Програма, що здійснює чисельне інтеґрування

o Програмне забезпечення, що використовувалось для запуску скрипта. Принцип роботи програми

o Програмний код файлу soliton.php

o Програмний код файлу soliton.php

Вступ

Великий клас молекулярних сполук з точки зору їх геометричної будови може бути модельовано низьковимірною молекулярною системою. Серед цих сполук існують такі, що являють собою одновимірні молекулярні ланцюжки. Науковий інтерес до них зріс останнім часом у зв’язку з широким їх застосуванням та ще більшими перспективами для молекулярної опто- та наноелектроніки. Особливий інтерес має місце до біологічних макромолекулярних структур, таких, як ДНК, білки та ін. Незважаючи на те, що вони мають досить складну геометричну та хімічну структуру, для дослідження певного класу явищ (таких, як їх оптичні та електропровідні властивості) їх можна моделювати одновимірними молекулярними ланцюжками.

Метою даної роботи є дослідження поширення колективних збуджень у білкових a-спіральних молекулах, але отримані результати можна поширити і на інші молекулярні сполуки, що відповідають описаній моделі.

Будемо вважати, що коливання відбуваються однаково у трьох ланцюжках білкової спіралі, і тому достатньо розглянути лише один такий ланцюжок. Кожен ланцюжок є послідовністю з’єднаних між собою амінокислот, внутрішню структуру яких ми не розглядаємо, уявивши натомість, що кожна амінокислота є окремою молекулою, і пептидний ланцюжок розглядатимемо як молекулярний, при чому для спрощення вважаємо, що всі молекули однакові і в початковий момент часу розташовані на однаковій відстані a (цю відстань називають сталою ґратки) одна від одної.

Частина І. Лінійні моди коливань та їх поширення у одновимірному молекулярному ланцюжку

Для початку розглянемо більш спрощену класичну модель поширення коливань у одновимірному ланцюжку, що утворилися внаслідок певного зовнішнього збурення. Ця модель докладно описана в [1].

Розглядатимемо наближення найближчих сусідів, тобто будемо вважати, що на кожну молекулу діють сили тільки збоку двох сусідніх (зліва і справа) молекул. Зміщення n-ї молекули з положення рівноваги позначимо un. При цьому виникають дві сили Fn, n+1 і Fn, n-1 відповідно. Вважаючи відносні зміщення (ui – ui-1) малими, можемо покласти ці сили квазіпружніми із деяким коефіцієнтом пружності w. Тоді повна сила F, що діє на n-у молекулу, дорівнюватиме:

Рівняння руху для цієї молекули має вигляд:

Знаходження загального розв’язку є досить складною процедурою, тому наразі будемо шукати частинний розв’язок при N ® ¥. У цьому випадку ланцюжок переходить сам у себе при зсуві на будь-яку цілу кількість періодів na. Очевидно, що розв’язок, який відповідає однаковим коливанням всіх молекул, при чому фаза кожної наступної змінюється на сталу величину по відношенню до попередньої молекули, задовільняє умови трансляційної симетрії і є розв’язком . Такий розв’язок описується пласкою монохроматичною хвилею:

При чому xn = na (n – ціле) набуває лише дискретних значень [1]. Оскільки хвиля поширюється тільки в N молекулах ланцюжка, то повинні виконуватись періодичні граничні умови (ланцюжок наче замкнений у кільце):

Підставляючи значення зміщень у це співвнідношення, отримаємо , звідки

де m ­– деяке напівціле число[1]. Не порушуючи загальності, обмежимось інтервалом довжини 2p/a, який називають зоною Бриллюена[2]. Зокрема, покладемо m=N/2 і тоді k змінюватиметься у межах -p/a £ k £ p/a. Цей інтервал є основною зоною Бриллюена. Тоді довжина хвилі змінюється в межах 2a £ l < ¥. Таким чином, у дискретному ланцюжку не розглядають хвиль із довжинами, меншими за 2a. І справді, поклавши l=a, маємо , тобто зміщення усіх молекул були б синфазними, тобто ланцюжок рухався б, як одне ціле, а це, в свою чергу, відповідає l=¥ із обраного нами інтервалу.

Цілком очевидно, що хвиля задовільняє рівняння гармонійного осцилятора . Підставивши це значення другої похідної в і врахувавши , здобудемо

Бачимо, що має місце дисперсія, адже фазова швидкість залежить від k. Групова швидкість хвилі дорівнює . При k=p/a (l=2a) v=0, і хвиля енергії не переносить.

За малих значень k (континуальне, або довгохвильове наближення) маємо , і тоді c=v=a(w/M)1/2 = const. У цьому випадку дисперсія зникає, і ланцюжок поводить себе як суцільне середовище. Формулу швидкості для цього випадку можна також здобути із формули для швидкості звуку в стрижні: c = (E/r)1/2, де E – модуль Юнга, який знайдемо із виразу Fn, n-1 = E (un – un-1)/a, де (un – un-1)/a – відносний розтяг ланцюжка. Враховуючи із попередніх міркувань, що Fn, n-1 = w(un – un-1), маємо E = wa. Для одновимірного ланцюжка r = M/a, звідки й отримаємо

У загальному випадку поширення коливань у ланцюжку можна представити суперпозицією розв’язків на кшалт ). Для наших цілей достатньо взяти частинний розв’язок, що є суперпозицією двох протифазних хвиль з однаковою частотою:

Закріпимо крайні молекули в ланцюжку, взявши граничні умови u0(t) = un(t) = 0. Позначивши довжину ланцюжка l = (n-1)a і підставивши граничні умови, здобудемо:

uk1+uk2 = 0,

uk1e-iklt + uk2eklt = 0;

звідси маємо uk1 = -uk2, тоді e-iklt - eklt = 0, тобто sin kl = 0.

Маємо k = pm/l або l = ml/2, тобто на всьому ланцюжку маємо цілу кількість напівхвиль.

З урахуванням усіх викладів отримуємо вираз для зміщення у вигляді стоячої хвилі:

un = 2uksin kxn sin wt, де k = pm/l

Оскільки хвильовий вектор є обмеженим, то максимальне значення m = l/a = n – 1 при k=p/a. Але насправді при m=0 i при m=n-1 всі молекули будуть мати однакове зміщення, а оскільки ми закріпили крайні молекули, то виходить, що um = 0 для всіх m. Тому маємо лише n-2 можливих коливань, якими представлено загальний рух ланцюжка.

Частина ІІ. Нелінійні моди. Поширення колективних збуджень з урахуванням взаємодії електрона з деформацією ланцюжка у довгохвильовому наближенні

Уточнення моделі поширення збуджень у молекулярному ланцюжку. Фонони і квазічастинки

Насправді, розглядаючи поширення збуджень у молекулярному ланцюжку, ми беремо до уваги не коливання окремих молекул, а увесь ланцюжок в цілому, оскільки в будь-якій його точці відбувається накладання збуджень, що надходять від усіх молекул, внаслідок чого формується певна хвиля, яка може бути періодичною й обходити ланцюжок декілька разів, або неперіодичною і руйнуватися з часом. Надалі нас цікавитимуть саме стійкі хвилі, енергія яких мало змінюється з часом, адже саме такі хвилі утворюються в реальних білкових спіралях (і не тільки) під час перенесення імпульсів чи енергії.

Не будемо глибоко вдаватися в структуру поліпептидного ланцюжка, додамо лиш до вищезапропонованої моделі молекулярного ланцюжка той факт, що амінокислоти з’єднані в єдиний ланцюжок за допомогою певних хімічних зв’язків. Розглянемо ситуацію, коли в ланцюжку є надлишковий електрон, та врахуємо його взаємодію з молекулами ланцюжка.

Згідно зі квантовомеханічними уявленнями кожен електрон з енергією E та імпульсом p має хвильові властивості, при чому частота і хвильовий вектор пов’язані із енергією та імпульсом таким чином:

Хвилю, що переносить в ланцюжку (у загальному випадку, в будь-якому середовищі) енергію і імпульс, задані співвідношеннями , ми будемо надалі називати квазічастинкою [1]. Очевидно, що “зайвий” електрон, посаджений на певну молекулу, буде поширюватися (в якості хвилі) вздовж цього ланцюжка, деформуючи його при цьому. Коливання, що збуджуватимуться в ланцюжку внаслідок його деформації, ми будемо називати фононами. Фонони, які випромінюватимуться внаслідок зміщень молекул з положень рівноваги, ми будемо називати акустичними. У лінійному наближенні акустичні фонони відповідають коливанням, що задані рівнянням і поводять себе так само, як звукова хвиля у суцільному середовищі [2][7].

Якщо розглядати кожну молекулу ланцюжка як єдине ціле, то, власне, цим можна і обмежитись. Але ми прив’язали нашу модель до реального поліпептидного ланцюжка, кожна пептидна група якого містить 4 атоми. Фонони, які випромінюються внаслідок внутрішньомолекулярних коливань атомів, назвемо оптичними.

Отже, при поширенні квазічастинки[3] ланцюжок деформується, і в ньому збуджуються акустичні та оптичні фонони. Звідси загальний гамільтоніан системи складається із енергії квазічастинки, енергії акустичних та оптичних фононів і енергії взаємодії електрона з деформацією ланцюжка (т. зв. електрон-фононна взаємодія) [2][3][7]:

В загальному випадку (урахування як акустичних, так і оптичних фононів) задача все ще не розв’язана. Використовуючи довгохвильове наближення, О. С. Давидов показав, що поширення колективних збуджень у одновимірному молекулярному ланцюжку за певних умов супроводжується утворенням локалізованих хвиль, що рухаються без випромінювання, а, отже, мають сталу енергію. Ця гіпотеза підтвердилась і при розгляді дискретної моделі, але точного аналітичного розв’язку для диференційних рівнянь, що описують поширення коливань із урахуванням акустичних фононів, знайдено не було, а утворення локалізованих станів було показано чисельними розрахунками Скоттом [8]. Дослідження поширення таких локалізованих хвиль було здійснено пізніше в роботах [4], [5] та інших.

Енольським і Давидовим розглянуто іншу модель, в якій акустичні коливання вважаємо малими і ними нехтуємо, оптичні коливання ж є суттєвими. Показано, що в довгохвильовому наближенні автолокалізовані стани утворюються також при взаємодії з цими коливаннями [6]. Дослідження дискретної моделі та знаходження розв’язків чисельним інтеґруванням рівнянь для оптичних фононів, буде розглянуто автором роботи.

Хвильова функція квазічастинки. Операторне представлення фононів. Дисперсія акустичних і оптичних фононів.

Хвильова функція квазічастинки

Принцип Гайзенберґа стверджує, що неможливо одночасно визначити точні координати та імпульс частинки: . Цей принцип і відрізняє квантову частинку від звичайної частинки у класичному розумінні. Хвиля не може бути локалізована в точці, а тому є сенс говорити про розподіл ймовірностей знаходження частинки у тій чи іншій точці простору. Цей розподіл зазвичай описують деякою функцією y(x,t)[4], яка здобула назву хвильової функції квазічастинки. Ця функція є комлекснозначною, і її квадрат модуля y*y має зміст густини ймовірності знаходження квазічастинки у певній точці простору. Якщо ми знаємо, який вигляд має хвильова функція, ми зможемо описати її рух, а, отже, наша задача буде розв’язаною.

Таким чином, окрім рівнянь для зміщень на кшалт , ми повинні мати певні рівняння для y(x, t).

Із властивостей густини ймовірності випливає, що інтеґрал по всьому простору D, що займає система, від yy* дорівнює одиниці (тобто квазічастинку завжди можна виявити у якійсь точці простору):

Це співвідношення називається умовою нормування [1]. У випадку такої дискретної системи, як наш ланцюжок, маємо дискретну хвильову функцію yn(t), де n – порядковий номер молекули. Умова нормування для неї має вигляд:

де N – загальна кількість молекул у ланцюжку [2][3][7].

В лінійних задачах хвильова функція задовільняє принцип суперпозиції, що дозволяє пояснювати інтерференцію і дифракцію квазічастинок. Наразі більше нам нічого про неї знати не треба.

Операторне представлення фононів. Дисперсія акустичних і оптичних фононів

Квантова механіка оперує деякими величинами Bk+ і Bk-, які називають операторами створення і знищення фонона з хвильовим вектором k. Над фізичним змістом цих операторів ми задумуватись не будемо. Вважатимемо, що це деякі оператори, які відповідають створенню і знищенню деформацій у ланцюжку.

Гамільтоніани, що відповідають енергії акустичних і оптичних фононів, мають вигляд:

Де M – маса кожної молекули, – імпульс, (un – un-1) – відносне зміщення для акустичних фононів, un – сумарне зміщення для оптичних фононів, W0 – частота оптичних коливань. Зміщення і імпульс, спряжений до нього, пов’язані між собою співвідношенням:

Нехай зміщення, імпульс і оператор знищення задаються таким чином:

,

,

де – середнє значення амплітуди нульових коливань з частотою Ωk. Неважко переконатись, що співвідношення задовільняється.

Підставивши ці значення у вираз для гамільтоніану і застосувавши умови ортоґональності[5], отримаємо операторне представлення акустичного фонона:

де оператори Bk+ і Bk- задовільняють співвідношення:

Схожий вираз можна отримати й для оптичних фононів, але ми цього робити не будемо, оскільки їх буде розглянуто більш детально пізніше [7].

Частота коливань акустичних фононів залежить від хвильового вектора таким чином:

а в довгохвильовому наближенні sin (ka/2) » ka/2, звідки маємо . Фазова і групова швидкості у цьому випадку будуть сталі і дорівнюватимуть [3].

Бачимо, що акустичні фонони мають дисперсію звукових хвиль (достатньо порівняти з і повернутися до міркувань Частини І.

Оптичні фонони відрізняються від акустичних іншим законом дисперсії. Якщо для других у довгохвильовому наближенні , то перші задовільняють таке дисперсійне співвідношення:

де v0 – мінімальна фазова швидкість фонона. Її наявність і відрізняє оптичні фонони від акустичних, у яких фазова швидкість є сталою (в континуальному наближенні). Фазова швидкість оптичних фононів змінюється від v0 до нескінченості [6].

Дисперсійні співвідношення - вважатимемо означенням акустичних і оптичних фононів відповідно.

Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з акустичними фононами. Континуальна модель. Солітони як розв’язки нелінійного рівняння Шредінґера.

Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з акустичними фононами. Континуальна модель.

Раніше ми вже зазначали, що гамільтоніан системи, що описує поширення збуджень у молекулярному ланцюжку, складається із гамільтоніана квазічастинки, гамільтоніана фононів і гамільтоніана взаємодії між ними. У співвідношенні ми нехтуємо внутрішньомолекулярними коливаннями, і тоді загальний гамільтоніан матиме вигляд:

Як вже було зазначено, гамільтоніан акустичного фонона має вигляд . Гамільтоніан електрона має зміст суми кінетичної і потенційної енергії, він задається через хвильову функцію квазічастинки і має вигляд:

де E0 – початкова енергія електрона, – енергія резонансної взаємодії (a - стала ґратки, d – дипольний момент) [3][4].

Нарешті, гамільтоніан взаємодії має вигляд:

Склавши , і , матимемо вираз для загального гамільтоніана системи:

де введено позначення – енергія деформації ланцюжка.

Цей гамільтоніан задовільняє гамільтонові рівняння:

де – узагальнені координати, – узагальнені імпульси. Тоді ці рівняння набудуть вигляду:

Окрім того, поклавши q = un, p= pn, отримаємо другу систему рівнянь:

Підставимо вираз для гамільтоніана у друге рівняння і продифереціюємо по Yn*:

Це і буде перше шукане рівняння, що описує поширення квазічастинки (перші два члени правої частини) і взаємодії її з деформацією (третій член) [4].

Ліва і права частина цього рівняння мають розмірність енергії, і тому цілком очевидно, що перед нами закон збереження енергії квазічастинки. Рівняння для комплексно спряженої функції [перше з рівнянь ] є аналогічним до рівняння , але записаним у спряжених функціях, і тому його не розглядаємо. Зрозуміло, що одного рівняння для електрона недостатньо, потрібно ще рівняння для деформації. Його отримаємо, підставивши гамільтоніан у друге рівняння і замінивши pn = Mun. Після спрощення отримаємо друге шукане рівняння [4]:

Чисельне інтеґрування рівнянь - у роботах [4], [8] показало, що за певних умов в ланцюжку утворюються автолокалізовані стани квазічастинки, які було названо давидівськими солітонами[6]. Давидов показав це, користуючись довгохвильовою (континуальною) моделлю [3][7]. Як було зазначено раніше, у випадку довгих хвиль середовище можемо вважати суцільним і покласти

де . Підставивши це в наші рівняння, здобудемо:

Під y і u ми розуміємо відповідні функції y(x,t) та u(x,t). Перетворимо перше рівняння системи:

Замінимо . Підставивши у це рівняння цю заміну і спростивши його, отримаємо остаточно:

Друге рівняння системи ми перепишемо, знехтувавши другою похідною від хвильової функції квазічастинки, вважаючи її малою:

Тепер введемо заміну

де j – деяка дійснозначна функція. Тоді Звідси маємо

Проінтеґрувавши рівність по x, отримаємо:

де C – константа інтеґрування. Величина має зміст деформації ланцюжка, яка створюється квазічастинкою й існує тільки там, де . Для того, щоб задовільнити цю умову, мусимо покласти C = 0. Тоді . Повернувшись до нашої заміни, а також згадавши з , що (де c – швидкість звуку в суцільному середовищі), маємо

Тут введено позначення s = v2/c2. Позначивши і підставивши значення ux у рівняння , отримаємо остаточно:

Це співвідношення називають нелінійним рівнянням Шредінґера (НРШ).

Солітони як розв’язки нелінійного рівняння Шредінґера.

Для того, щоб розв’язати рівняння , оберемо такі a i g, щоб . Зокрема, вибір константи g тепер однозначний: g = a2/2. Тоді нелінійне рівняння Шредінґера набуде так званої канонічної форми:

Будемо шукати розв’язок у вигляді [8]:

Тут F(x), q(x) – деякі функції. Тоді, підставивши це у рівняння [7], здобудемо:

Поділивши на експоненту та прирівнявши дійсну та уявну частину рівняння нулю, отримаємо систему рівнянь:

Розв’яжемо спершу рівняння , розділивши у ньому змінні:

Інтеґруючи, здобудемо (В – константа інтеґрування), звідки

Тут ми перепозначили B = -1/B2. Підставимо отримане значення qx у рівняння :

Звідси . Домноживши обидві частини на Fx, отримаємо:

Інтеґруємо це співвідношення й після інтеґрування домножуємо обидви частини на 8F2:

де C – константа інтеґрування (її було перепозначено після домноження). Позначимо S=F2, тоді Sx=2FFx. Тоді маємо:

Оскільки ми шукаємо локалізовані у обмеженій області простору розв’язки, то амплітуда F(x) на нескінченості повинна прямувати до нуля. Звідси звідки Для того, щоб це виконувалось, має бути B=C=0. Покладемо тоді:

Звідси маємо . Розділяючи змінні, маємо:

де 2x0 – константа інтеґрування. Інтеґруючи ліву частину[8] і перепозначивши маємо:

Звідси (модуль опускаємо, оскільки справа завжди додатній вираз). Тоді маємо:

Підносимо обидві частини до квадрату, спрощуємо і знаходимо S:

У знаменнику бачимо косинус гіперболічний, тому остаточно . Звідси маємо:

Тепер знаходимо q, проінтеґрувавши , попередньо поклавши B=0:

Тут x1 – стала інтеґрування.

Остаточно матимемо:

Така хвиля називається солітоном [8], оскільки характеризується локалізацією в певній обмеженій області і рухається зі сталою швидкістю, яка є меншою за швидкість звуку в суцільному середовищі і дорівнює .[9] Отже, за малих значень k, що допустимі в нашій моделі, швидкість солітона буде менша за швидкість звуку [2][3][7].

У роботах [4], [5], [8], [9] здійснено чисельне інтеґрування рівнянь -, що підтвердило справедливість континуальної моделі. Як виявилось, в такій моделі гранична швидкість руху солітона є меншою за швидкість звуку.

Нижче ми спробуємо більш детально здійснити аналогічні обчислення для оптичних фононів, отримати чисельними методами солітонні розв’язки та прослідкувати їх еволюцію в часі.

Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з оптичними фононами. Континуальна модель. Зведення рівнянь до НРШ.

До цього ми розглядали рух квазічастинки в полі деформації ланцюжка, яка описується дисперсійним співвідношенням . При русі цієї частинки зі швидкістю, що менша за швидкість довгохвильового звуку, утворюються самотні[10] хвилі, які рухаються зі сталою швидкістю і мають незмінну форму. Як вже було зазначено, такі хвилі називають солітонами. Тепер ми розглянемо дещо інший випадок, коли більш суттєвою є взаємодія електрона з оптичними фононами, а акустичні коливання є малими порівняно з внутрішньомолекулярними, і тому першими нехтуємо. Ми будемо розглядати модель взаємодії електрона з бездисперсійними айнштайнівськими фононами[11] (модель Голстайна) [6][7], яка полягає в тому, що всі молекули вважаємо двохатомними і однаковими. Нехай дипольні моменти молекул будуть сталими або змінюватимуться незначно, тоді розглядатимемо тільки недипольні коливання із деякою частотою W0. Ці коливання характеризуються дисперсією , якою в даній моделі ми нехтуємо, вважаючи її незначною, поклавши v0=0.

Виведемо рівняння поширення збудження для цього випадку. Очевидно, що це будуть рівняння із гамільтоніаном , де Hac = Eac = 0. Так само, як і у випадку акустичних фононів, енергія квазічастинки матиме вигляд , а енергія взаємодії з оптичним фононом зміниться порівняно з так:

Константу взаємодії квазічастинки з оптичним фононом ми позначили copt, щоб відрізнити від відповідної константи для акустичних фононів. Роль відносного зміщення молекул un-un-1 тепер грає загальне зміщення un/a кожної молекули.

Гамільтоніан оптичного фонона має вигляд , а саме .

Звідси загальний гамільтоніан матиме вигляд:

Диференціюванням цього гамільтоніана по Yn* у другому рівнянні системи отримуємо перше шукане рівняння [6][7]:

Друге рівняння отримаємо так само, як ми свого часу отримували , підставивши гамільтоніан у друге рівняння системи :

Поділивши обидві частини на M, остаточно матимемо:

Рівняння - є шуканими і описують рух квазічастинки із урахуванням взаємодії з оптичними фононами. Їх точний аналітичний розв’язок невідомий, але, так само, як і рівняння -, в континуальному наближенні вони дають солітонні розв’язки. Щоб показати це, достатньо отримати нелінійне рівняння Шредінґера, розв’язок якого вже відомий. У наступному пункті буде здійснено чисельне дослідження рівнянь -, а зараз поки що перейдемо знову до неперервної моделі, використовуючи співвідношення . Тоді отримаємо:

У першому рівнянні виконаємо фазове перетворення аналогічно до того, як ми це робили для акустичних фононів, тобто замінимо , звідки отримаємо:

Друге рівняння перепишемо так:

Так само, як ми це робили раніше, введемо заміну . Тоді маємо:

Для отримання стаціонарних розв’язків системи - розглянемо випадок малих швидкостей, коли v2/W02 << 1. Тоді отримаємо

Позначимо . Тоді, підставивши значення u в , отримуємо нелінійне рівняння Шредінґера:

Як бачимо, воно нічим не відрізняється від аналогічного рівняння , отриманого для акустичних фононів, крім коефіцієнту gopt, що пропорційний до copt2, тобто фактично є константою взаємодії квазічастинки з деформацією. У залежності від значення цієї константи, збудження або рівномірно розподілиться по ланцюжку (делокалізований стан, гармонійні коливання), або утвориться автолокалізований стан, тобто солітон, у вигляді .

Частина ІІІ. Дослідження еволюції колективного збудження молекулярного ланцюжка із урахуванням взаємодії з айнштайнівськими оптичними фононами

Чисельне інтеґрування рівнянь, що описують поширення квазічастинки у полі оптичних фононів. Підготування рівнянь до чисельного інтеґрування.

Для того, щоб чисельно проінтеґрувати рівняння -, слід розділити дійсну і уявну частину, а також знерозмірити всі величини в рівнянні, оскільки з такими величинами простіше працювати. Виконаємо фазові перетворення, замінивши у рівнянні . В результаті наша система рівнянь матиме вигляд:

Знерозміримо рівняння, поділивши першу рівність на ħW0. Другу рівність поділимо на W02, і в обох рівняннях замінимо un®lun де l має зміст мірила і розмірність м-1. Тоді здобудемо шукані рівняння:

Тепер введемо позначення:

Тоді остаточно наші рівняння матимуть вигляд:

Для чисельного розв’язку задачі в друге рівняння введемо слабке тертя:

Додатково це буде пояснено пізніше, а зараз введемо ще одне позначення:

де g має зміст зведеного коефіцієнту тертя. Окрім того, для чисельного інтеґрування нам зручніше мати рівняння першого порядку по часу. Тому позначимо і розіб’ємо друге рівняння на два:

Повернемось до першого рівняння й позначимо:

де перший і другий члени мають зміст дійсної та уявної частини хвильової функції відповідно. Тоді перше рівняння системи матиме вигляд:

Очевидно, що ліва і права частини будуть рівні, коли рівні відповідні дійсні та уявні частини. Тоді наше рівняння розпадається на дві рівності від дійсних змінних. Враховуючи , запишемо шукану систему рівнянь:

Початкові та граничні умови. Інтеґрування рівнянь методом Рунґе-Кутта.

Розв’яжемо рівняння –, застосувавши періодичні граничні умови [4][5]:

де N – кількість молекул у ланцюжку, нумерація молекул – від 1 до N. Крім того, при розрахунку першої молекули в рівняннях - з’явиться функція від молекули n=0. Уявивши собі ланцюжок у вигляді кільця, можна зрозуміти, що нульова молекула збігається з N-ою[12]:

Початкові умови в момент t=0, взагалі кажучи, невідомі, тому можна обрати їх довільними. Але зрозуміло, що вони будуть відрізнятися від справжніх початкових умов, які відповідають локалізованим станам, і довільне початкове збудження ми зводимо до потрібного стаціонарного розв’язку за рахунок штучного введення тертя . Тоді ми отримаємо “правильні” розв’язки, не знаючи, з якими початковими умовами вони насправді отримуються. Під час розрахунків зручно посадити збудження на молекулу n=N/2 (N беремо парним) і декілька сусідніх, і прослідкувати його еволюцію:

Розрахунки здійснено методом Рунґе-Кутта четвертого порядку, докладно описаному в [10], [11], [12]. Кількість рівнянь, які розраховувались одночасно, є змінною і дорівнює 4N (по 4 рівняння для кожної молекули, в загальному випадку кожне рівняння містить функцію від 4N+1 змінних, але реально – від 4 змінних). Обчислювались значення функцій

у кожен момент часу t=0 T (T – кінцевий час еволюції, задається довільно) із заданим кроком Dt. Похибка цього методу має порядок Dt4, і при обраному нами Dt=0.05 отримували розв’язки із похибкою порядку 10-6 [10][12].

Для виконання обчислень було написано програму на мові PHP, яка створювала масив даних, з яких побудовано графіки за допомогою Microsoft Excell 2000. Код програми із коментарями та описом процесу розрахунків наведено у Додатку.

Результати чисельних обчислень

Розрахунки проводились для декількох значень коефіцієнта g0 при сталих інших параметрах:

Нагадуємо, що всі наведені в таблиці величини є безрозмірними.

Дослід 1. g0=0,5. У початковий момент часу квадрат амплітуди хвильової функції має вигляд:

Графік 1. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n в початковий момент часу.

З графіків 2-6 у різні моменти часу бачимо, що врешті-решт хвиля “розсипається”, перетворюючись на гармонійну, тобто збудження делокалізується і рівномірно розподіляється по молекулах ланцюжка. Чому так відбувається?

Графік 2. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=0,8.

Графік 3. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=1,8.

Зрозуміло, що система врешті-решт мусить прийти до стану рівноваги, і гармонійні коливання – це тривіальний стаціонарний стан, який ми і отримали. На графіку 4 видно, як збудження перейшло з центру до країв, а потім (графіки 5-6) рівномірно поширилось на всі вузли одновимірної ґратки (молекули ланцюжка):

Графік 4. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=5.

Графік 5. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=15.

Графік 6. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=30.

Делокалізація відбувається приблизно в момент часу t=10 і вже при t=30 маємо практично стабільну монохроматичну хвилю. Подивимось, що станеться з нею далі:

Графік 7. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=50.

Графік 8. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=100.

Бачимо, що хвиля є стабільною і стаціонарною, а, отже, цьому стану відповідає найменша енергія.

Дослід 2. g0=1,8. Збільшуючи значення параметра g0, дійшли такого самого результату, як і в попередньому досліді, тобто отримали стаціонарний стан у вигляді монохроматичної хвилі. На графіках 9-14 показано еволюцію початкового збудження та перетворення його у стоячу гармонійну хвилю. Тут ми прослідкуємо зміну не тільки квадрату амплітуди хвильової функції квазічастинки, а й зміну зміщення в часі. Початкове збудження задаємо таким самим, як і в першому досліді (графік 1). Спершу коливання майже не змінюються:

Графік 9. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)

та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=1.

Графік 10. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)

та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=2.

На графіках 10-11 бачимо, як хвиля поступово руйнується, а максимум збудження переходить від центру до країв і подвоюється:

Графік 11. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)

та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=5.

Нарешті, на графіках 12-15 спостерігаємо перехід хвилі у гармонійну:

Графік 12. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)

та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=11,1.

Графік 13. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія) та зміщення un (товста лінія) при t=30.

Графік 14. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)

та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=50.

Графік 15. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)

та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=100.

Бачимо, що кінцева хвиля є дещо ширшою й має іншу амплітуду, ніж та, що утворилася на графіку 8, оскільки має іншу фазу, проте також є стабільною і відповідає стану рівноваги системи.

Висновки

У цій роботі досліджувалось поширення колективних збуджень у одновимірному молекулярному ланцюжку, який є моделлю поліпептидного ланцюжка білкової a-спіральної молекули. Зокрема, розглядався рух “зайвого” електрона у полі деформації цього ланцюжка.

Було зроблено огляд двох моделей цього руху, перша з яких враховує взаємодію електрона із міжмолекулярними (акустичними) коливаннями, а друга – з внутрішньомолекулярними (оптичними). Показано, що таку систему у довгохвильовому наближенні можна описати нелінійним рівнянням Шредінґера, частинним розв’язком якого є локалізована хвиля , що отримала назву солітона.

Автором роботи було вперше чисельно проінтеґровано систему нелінійних диференційних рівнянь, що описують рух квазічастинки у полі недипольних бездисперсійних оптичних фононів. Всупереч континуальній моделі поки що не вдалося отримати локалізованих стаціонарних станів, натомість було отримано пласкі монохроматичні хвилі, що відповідають стану рівноваги системи. Причиною саме таких результатів можуть бути початкові умови, які в загальному випадку не мають призводити до локалізації, а також специфічний підбір параметрів, за яких енергія делокалізованого стану (гармонійних коливань) є мінімальною. На даному етапі відбувається підбір таких параметрів, що призвели б до утворення локалізованих станів або показали, що такі стани неможливі.

Посилання

1. Д. В. Сивухин. Общий курс физики. Т. V-I. Атомная физика.

М.: Наука, 1986. С. 349-366.

2. А.С. Давыдов. Теория экситонов и солитонов в молекулярных системах.

Препринт ИТФ АН УССР. К., 1980.

3. A. S. Davydov. The role of solitons in the energy and electron transfer in one-dimensional molecular systems.

Preprint of the Institute for Theoretical Physics, Kyiv-1979.

4. L. Brizhik, A. Eremko, L. Cruzeiro-Hansson, Yu. Olkhovska. Soliton dynamics and Peierls-Nabarro barrier in a discrete molecular chain.

Phys. Rev. B, 2000, 61, 2, p. 1129-1141.

5. Л. С. Брижик, Л. Крузейро-Ханссон, О. О. Єремко, Ю. В. Ольховська. Динамічні властивості давидовських солітонів у молекулярних ланцюжках.

УФЖ, 48(7) (2003), 667.

6. A. S. Davydov. V. Z. Enol’skii. The theory of motion of an extra electron an a molecular chain with allowance for interaction with optical phonons.

Preprint of the Institute for Theoretical Physics, Kyiv-1980.

7. А. С. Давыдов. Солитоны в молекулярных системах.

К.: Наукова думка, 1984. С. 11-38, 77-95, 250-253.

8. Scott A.C., Chu F.Y.E., McLaughlin D.W. The soliton: a new concept in Applied Science. – Proc. IEEE, 1973, 61, 10, p. 1443-1483.

9. Scott A.C.: a) Dynamics of Davydov solitons.

Phys. Rev. A, 1982, 26, 1, p. 578-595.

10. Р. В. Хемминґ. Численные методы.

М.: Наука, 1968. С. 220-224.

11. Н. И. Данилина и др. Численные методы.

М.: Высшая школа, 1976. С. 322-332.

12. Paul Gray. High-Order Methods.

http://www.mathcs.emory.edu/ccs/ccs315/ccs315/node30.html

13. Д. Н. Колисниченко. PHP 4/5.

С.-Пб.: Наука и техника, 2004.

Додаток. Програма, що здійснює чисельне інтеґрування

Програмне забезпечення, що використовувалось для запуску скрипта. Принцип роботи програми

Ориґінальний скрипт, що здійснює чисельне інтеґрування системи -, написаний мовою PHP із інтеґруванням HTML-коду. Мова PHP (Hypertext PreProcessor) розроблена у 90х роках минулого століття і призначена головним чином для обробки даних HTML-форм та вибіркового виводу інформації на веб-сторінках [12]. Синтаксис і можливості було запозичено із мов C, C++, Perl, Python, Java. Зокрема, математичний апарат і числові типи даних, що використовувались у програмі, було запозичено із мови С. Чому було обрано саме мову PHP, а не С++? Математичними можливостями PHP практично не поступається С++, а можливість запускати php-скрипт на віддалених потужних веб-серверах повністю компенсує втрати швидкості розрахунків[13]. Окрім того, PHP є крос-платформенною мовою, тобто будь-який php-скрипт буде однаково добре працювати як в ОС Windows, так і Unix/Linux.

Для роботи скрипта використовувався віртуальний веб-сервер Apache 1.3 для Windows 95/98/NT/2000 з інтерпретатором PHP 4.1.0, встановлений на локальному комп’ютері. Програма також тестувалась на реальному веб-сервері Lycos Tripod (Велика Британія). Запит на запуск програми і обмін даними здійснювався за допомогою веб-бравзерів Microsoft Internet Explorer 5.0, Opera 7.0 та Mozilla 5.0.

Скрипт працює таким чином. Параметри рівнянь вводять у спеціальній HTML-формі, що з’являється у вікні бравзера після запуску програми (див. Фото 1). Форма являє собою HTML-файл (soliton.php), який після натиснення користувачем кнопки “Пішов” передає введені параметри[14] головному скрипту (calculate.php3). Результати розрахунків (залежності квадрату амплітуди хвильової функції та зміщення від часу та номеру молекули) заносяться у текстові файли у вигляді таблиці. Ці таблиці можна імпортувати будь-якою програмою, що вміє будувати графіки за заданими координатами точок. Зокрема, у цій роботі для цього використовувався редактор таблиць Microsoft Excell.

Нижче наведено програмні коди файлів soliton.php та calculate.php3 із докладними коментарями, і результат НТМL-коду файла soliton.php можна побачити на Фото 1.

Програмний код файлу soliton.php

<DIV align="right"><H2>:::: Скрипт обрахунку збудження молекулярного ланцюжка ::::</H2></DIV>

<HR noshade color="#EBEBEB" align="right" width="75%" size="4">

<form name="form1" method="get" action="calculate.php3">

<table width="80%" border="0">

<tr><td>Параметр j:

<br><input size="40" type="text" name="j" value="1"></td></tr>

<tr><td>Параметр g0:

<br><input size="40" type="text" name="g0" value="1.3"></td></tr>

<tr><td>Параметр c0:

<br><input size="40" type="text" name="c0" value="0.8"></td></tr>

<tr><td>Коефіцієнт для тертя hamma:

<br><input size="40" type="text" value="2" name="hamma"></td></tr>

<tr><td>Крок dt:

<br><input size="40" type="text" name="dt" value="0.05"></td></tr>

<tr><td>Кінцевий час T, с:

<br><input size="40" type="text" name="T" value="100"></td></tr>

<tr><td>Кількість молекул N:

<br><input size="40" type="text" value="20" name="N"></td></tr>

<tr><td>Ім'я вихідного файлу:

<br><input size="40" type="text" value="houtput.txt" name="filo"></td></tr>

<tr><td><input type="submit" name="Submit" value="Пішов!"></td></tr>

<tr><td><table width="50%" border="0">

<tr><td></td></tr></table></td></tr></table></form>

<?php print "<BR>Copyright (C) 2003-2004 Yurko Natanzon. All rights reserved. Копірайт (К) 2003-2004, Юрко Натанзон. Всіх прав дотримано."; ?>

Фото 1. Загальний вигляд програми, що здійснює розрахунки.

Програмний код файлу calculate.php3

<HTML>

<TITLE>Розв"язок системи дифрівнянь .</TITLE>

<BODY>

Ідуть підрахунки, чекайте .<BR><BR>

<?php //Початок php коду

//Функції f1-f4 характеризують рівняння системи (3.4)-(3.7)

function f1 ($j, $fi_np1, $fi_nm1, $g0, $u, $fi)

{

$result = 0-$j*($fi_np1 + $fi_nm1)+$g0*$u*$fi;

return $result;

}

function f2 ($j,$f_np1, $f_nm1, $g0, $u, $f)

{

$result = $j*($f_np1 + $f_nm1)-$g0*$u*$f;

return $result;

}

function f3 ($g0, $c0, $fi, $f, $u, $hamma, $p)

{

$result = 0-($g0/$c0)*($fi*$fi+$f*$f)-$u-$hamma*$p;

return $result;

}

function f4 ($p)

{ return $p; }

/* Тут починається тіло скрипта

Параметри, що передаються:

$j, $g0, $c0, - параметри рівнянь

$hamma - коефіцієнт тертя

$dt - крок

$T - кінцевий час, бажано задати цілим

$N - кіль-сть молекул в ланцюжці

$filo – ім’я файла, в який слід записувати результати

Всі ці параметри в даному скрипті є константами

(вводяться з клавіатури у форму soliton.php і передаються цьому файлу)

*/

// Початкові умови

// Обрахунок параметрів рівнянь

$tau = $T;

$dtau = $dt;

//вивід параметрів на екран

print "Параметри:<BR>N=$N, tau=$tau, dtau=$dtau, j=$j, g0=$g0, c0=$c0, hamma=$hamma<BR>";

$xwail=fopen($filo, w);

fputs($xwail, "№ t f^2+fi^2 u(x,t)\n");

$norm = 0;

$nulli = fopen ("0.txt", w);

for ($m=1; $m <= $N; $m++)

//Задаємо початкове збудження для всіх молекул

{

if ($m == $N/2)

$f[$m][0] = 0.8;

if (($m == $N/2+1)||($m == $N/2-1))

$f[$m][0] = 0.4;

if (($m == $N/2+2)||($m == $N/2-2))

$f[$m][0] = sqrt(0.02);

$fi[$m][0] = 0;

$norm += $f[$m][0]*$f[$m][0] + $fi[$m][0]*$fi[$m][0];

$p[$m][0] = 0;

$u[$m][0] = 0;

$fu = $u[$m][0];//Тотожність, зручно записувати у файл

//просто змінну не масива

$fm = $f[$m][0]*$f[$m][0]+$fi[$m][0]*$fi[$m][0];

//Запис $m $t $fm $fu

fputs($xwail, "$m 0 $fm $fu\n");

fputs($nulli, "$m $fm $fu\n");

}

fclose ($nulli);

print "У початковий момент часу норма = $norm<br>";

//Накладаємо періодичні умови, "нульова" молекула тотожня до N-ї

$f[0][0] = $f[$N][0];

$fi[0][0] = $fi[$N][0];

$p[0][0] = $p[$N][0];

$u[0][0] = $u[$N][0];

//Так само вчинимо з молекулою N+1

$f[$N+1][0] = $f[1][0];

$fi[$N+1][0] = $fi[1][0];

$p[$N+1][0] = $p[1][0];

$u[$N+1][0] = $u[1][0];

for ($t=$dtau; $t < $tau+$dtau; $t=$t+$dtau) //Зсув за часом

{

$norm = 0;

$pot = fopen ("$t.txt", w);

for ($m = 1; $m <= $N; $m++) //Пішов обрахунок N молекул

{

//Для молекул рахуємо методом Рунґе-Кутта

//Функції v, w ,y, z стосуються невідомих f, fi, p, u

$tm1 = $t-$dtau;

$mp1 = $m+1;

$mm1 = $m-1;

$v1[$m][$tm1] =

f1($j, $fi[$mp1][$tm1], $fi[$mm1][$tm1], $g0, $u[$m][$tm1], $fi[$m][$tm1]);

$w1[$m][$tm1] =

f2($j, $f[$mp1][$tm1], $f[$mm1][$tm1], $g0,$u[$m][$tm1],$f[$m][$tm1]);

$y1[$m][$tm1] =

f3($g0,$c0, $fi[$m][$tm1], $f[$m][$tm1], $u[$m][$tm1], $hamma, $p[$m][$tm1]);

$z1[$m][$tm1] = f4($p[$m][$tm1]);

$v2[$m][$tm1] = f1($j, $fi[$mp1][$tm1]+$w1[$mp1][$tm1]/2, $fi[$mm1][$tm1]+$w1[$mm1][$tm1]/2, $g0, $u[$m][$tm1]+$z1[$m][$tm1]/2, $fi[$m][$tm1]+$w1[$m][$tm1]/2);

$w2[$m][$tm1] = f2($j, $f[$mp1][$tm1]+$v1[$mp1][$tm1]/2, $f[$mm1][$tm1]+$v1[$mm1][$tm1]/2, $g0, $u[$m][$tm1]+$z1[$m][$tm1]/2, $f[$m][$tm1]+$v1[$m][$tm1]/2);

$y2[$m][$tm1] = f3($g0,$c0, $fi[$m][$tm1]+$w1[$m][$tm1]/2, $f[$m][$tm1]+$v1[$m][$tm1]/2, $u[$m][$tm1]+$z1[$m][$tm1]/2, $hamma, $p[$m][$tm1]+$y1[$m][$tm1]/2);

$z2[$m][$tm1] = f4($p[$m][$tm1]+$y1[$m][$tm1]/2);

$v3[$m][$tm1] = f1($j, $fi[$mp1][$tm1]+$w2[$mp1][$tm1]/2, $fi[$mm1][$tm1]+$w2[$mm1][$tm1]/2, $g0, $u[$m][$tm1]+$z2[$m][$tm1]/2, $fi[$m][$tm1]+$w2[$m][$tm1]/2);

$w3[$m][$tm1] = f2($j, $f[$mp1][$tm1]+$v2[$mp1][$tm1]/2, $f[$mm1][$tm1]+$v2[$mm1][$tm1]/2, $g0, $u[$m][$tm1]+$z2[$m][$tm1]/2, $f[$m][$tm1]+$v2[$m][$tm1]/2);

$y3[$m][$tm1] = f3($g0,$c0, $fi[$m][$tm1]+$w2[$m][$tm1]/2, $f[$m][$tm1]+$v2[$m][$tm1]/2, $u[$m][$tm1]+$z2[$m][$tm1]/2, $hamma, $p[$m][$tm1]+$y2[$m][$tm1]/2);

$z3[$m][$tm1] = f4($p[$m][$tm1]+$y2[$m][$tm1]/2);

$v4[$m][$tm1] = f1($j, $fi[$mp1][$tm1]+$w3[$mp1][$tm1], $fi[$mm1][$tm1]+$w3[$mm1][$tm1], $g0, $u[$m][$tm1]+$z3[$m][$tm1], $fi[$m][$tm1]+$w3[$m][$tm1]);

$w4[$m][$tm1] = f2($j, $f[$mp1][$tm1]+$v3[$mp1][$tm1], $f[$mm1][$tm1]+$v3[$mm1][$tm1], $g0, $u[$m][$tm1]+$z3[$m][$tm1], $f[$m][$tm1]+$v3[$m][$tm1]);

$y4[$m][$tm1] = f3($g0,$c0, $fi[$m][$tm1]+$w3[$m][$tm1], $f[$m][$tm1]+$v3[$m][$tm1], $u[$m][$tm1]+$z3[$m][$tm1], $hamma, $p[$m][$tm1]+$y3[$m][$tm1]);

$z4[$m][$tm1] = f4($p[$m][$tm1]+$y3[$m][$tm1]);

//Маємо результати

$f[$m][$t] = $f[$m][$tm1] + ($dtau/6)*($v1[$m][$tm1] + 2*$v2[$m][$tm1] + 2*$v3[$m][$tm1] + $v4[$m][$tm1]);

$fi[$m][$t] = $fi[$m][$tm1] + ($dtau/6)*($w1[$m][$tm1] + 2*$w2[$m][$tm1] + 2*$w3[$m][$tm1] + $w4[$m][$tm1]);

$p[$m][$t] = $p[$m][$tm1] + ($dtau/6)*($y1[$m][$tm1] + 2*$y2[$m][$tm1] + 2*$y3[$m][$tm1] + $y4[$m][$tm1]);

$u[$m][$t] = $u[$m][$tm1] + ($dtau/6)*($z1[$m][$tm1] + 2*$z2[$m][$tm1] + 2*$z3[$m][$tm1] + $z4[$m][$tm1]);

if ($m == $N)

{

$v1[0][$tm1] = $v1[$N][$tm1];

$v2[0][$tm1] = $v2[$N][$tm1];

$v3[0][$tm1] = $v3[$N][$tm1];

$v4[0][$tm1] = $v4[$N][$tm1];

$f[0][$t] = $f[$N][$t];

$w1[0][$tm1] = $w1[$N][$tm1];

$w2[0][$tm1] = $w2[$N][$tm1];

$w3[0][$tm1] = $w3[$N][$tm1];

$w4[0][$tm1] = $w4[$N][$tm1];

$fi[0][$t] = $fi[$N][$t];

$y1[0][$tm1] = $y1[$N][$tm1];

$y2[0][$tm1] = $y2[$N][$tm1];

$y3[0][$tm1] = $y3[$N][$tm1];

$y4[0][$tm1] = $y4[$N][$tm1];

$p[0][$t] = $p[$N][$t];

$z1[0][$tm1] = $z1[$N][$tm1];

$z2[0][$tm1] = $z2[$N][$tm1];

$z3[0][$tm1] = $z3[$N][$tm1];

$z4[0][$tm1] = $z4[$N][$tm1];

$u[0][$t] = $u[$N][$t];

}

if ($m == 1)

{

$v1[$N+1][$tm1] = $v1[1][$tm1];

$v2[$N+1][$tm1] = $v2[1][$tm1];

$v3[$N+1][$tm1] = $v3[1][$tm1];

$v4[$N+1][$tm1] = $v4[1][$tm1];

$f[$N+1][$t] = $f[1][$t];

$w1[$N+1][$tm1] = $w1[1][$tm1];

$w2[$N+1][$tm1] = $w2[1][$tm1];

$w3[$N+1][$tm1] = $w3[1][$tm1];

$w4[$N+1][$tm1] = $w4[1][$tm1];

$fi[$N+1][$t] = $fi[1][$t];

$y1[$N+1][$tm1] = $y1[1][$tm1];

$y2[$N+1][$tm1] = $y2[1][$tm1];

$y3[$N+1][$tm1] = $y3[1][$tm1];

$y4[$N+1][$tm1] = $y4[1][$tm1];

$p[$N+1][$t] = $p[1][$t];

$z1[$N+1][$tm1] = $z1[1][$tm1];

$z2[$N+1][$tm1] = $z2[1][$tm1];

$z3[$N+1][$tm1] = $z3[1][$tm1];

$z4[$N+1][$tm1] = $z4[1][$tm1];

$u[$N+1][$t] = $u[1][$t];

}

//Запис всіх знайдених змінних

$fu = $u[$m][$t];//Тотожність, зручно записувати у файл просто змінну не масива

$fm = $f[$m][$t]*$f[$m][$t]+$fi[$m][$t]*$fi[$m][$t];

//fputs($xwail, "$m $t $fm $fu\n");

$norm += $fm;

}

$norm2 = 0;

$norm = sqrt($norm);

//print "$norm";

for ($m = 1; $m <= $N; $m++) //Перерозрахунок, застосування

//умови нормування

{

if ($norm != 1)

{

$f[$m][$t] = $f[$m][$t]/$norm;

$fi[$m][$t] = $fi[$m][$t]/$norm;

}

$fu = $u[$m][$t];//Тотожність, зручно записувати у файл

//просто змінну не масива

$fm = $f[$m][$t]*$f[$m][$t]+$fi[$m][$t]*$fi[$m][$t];

fputs($xwail, "$m $t $fm $fu\n");

fputs($pot, "$m $fm $fu\n");

$norm2 += $fm;

}

fclose ($pot);

print "Перевірка норми (час $t): $norm<BR>";

}

//Кінець циклу і скрипта майже

print "<b>Success!!</b> <P>Результати обрахунків занесено до файла <B>$filo</B>, який можете

<A href=\"$filo\">скачати звідси</A> й імпортувати для побудови графіків<P>";

?>

<A href="javascript:history.back()">Назад >>></A>

</BODY>

</HTML>

[1] Тобто має вигляд m=n/2, де n – ціле.

[2] Зона Бриллюена – це мінімальний інтервал значень k, що дозволяє описати всі коливання „ґратки”.

[3] Ми будемо мати на увазі саме електрон, але в загальному випадку це може бути будь-яка інша квазічастинка.

[4] У загальному випадку y(r,t), де r – (n-1)-вимірний вектор n-простору, всі координати якого просторові. Але оскільки ланцюжок одновимірний, то нам достатньо обмежитись функцією від однієї просторової координати.

[5] Умови ортоґональності мають вигляд:

[6] Більш детально умови, за яких утворюється солітон, буде показано на прикладі оптичних фононів.

[7] При цьому

[8] Замінимо тоді Підставляючи в інтеґрал, маємо Повернувшись до нашої заміни, отримаємо . При цьому константу інтеґрування не пишемо, оскільки її вже враховано в правій частині рівняння.

[9] Це випливає з того, що у довгохвильовому наближенні і взятої нами умови канонізації рівняння : . У більш загальному випадку фазова швидкість для довгохвильової моделі має вигляд , тобто пропорційна k.

[10] Авторський переклад з англійського „solitary wave”.

[11] Вперше оптичні коливання без урахування дисперсії були розглянуті А. Айнштайном при дослідженні теплоємності твердих тіл. Після того ці найпростіші оптичні фонони було названо айнштайнівськими.

[12] Можна не замикати ланцюжок, а сказати, що він є нескінчений і коливання в ньому періодичні з періодом N (згідно з граничними умовами). Тоді молекула, що знаходиться лівіше першої, поводить себе так само, як N-та молекула.

[13] Зокремо, автор запускав програму на британському веб-сервері Lycos Tripod (www.lycos.co.uk), що надає 20 меґабайт безкоштовного гостинґу будь-кому.

[14] Параметри форми передаються методом GET, тобто їх можна модифікувати у командному рядку бравзера.