Визначені та невласні інтеграли

Визначений інтеграл є одним із основних понять математич­ного аналізу і широко використовується в різних галузях науки, техніки та в економічних дослідженнях.

1. Означення та властивості визначеного інтеграла

1.1. Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла

Розглянемо дві задачі — геометричну та фізичну.

1. Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція у = f (х) і будемо поки що вважати, що f (х)0 для усіх x є [а, А].

Фігуру, обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, називають криволінійною трапецією (дивись Малюнок 1). В окремих випадках може f (а) = 0 або f (b) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.

Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а,b] довільним чином на n частин точками

а = х0 < x1 < х2 < . < xk < . < хn = b

Довжини цих частин

Перпендикуляри до осі 0х, проведені із точок ділення до перети­ну із кривою у = f (х), розділяють усю площу трапеції на n вузьких криволінійних трапецій. Замінімо кожну із цих трапецій прямокутника з основою та висотою , де . Площа кожного такого прямокутника дорівнює

Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати

Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто

Ця формула буде тим точнішою, чим менше величина .

Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S криволінійної трапеції, треба в цій формулі перейти до границі, коли Тоді

(1)

2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від t0 до T.

Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: Δt1,Δt2,…,Δtn.

Позначимо через довільний момент часу із проміжку Δtk, а значення швидкості у цій точці позначимо .

Точка, що рухається з постійною швидкістю Vk на проміжку часу Δtk, проходить за цей час шлях а за час T - t0 вона пройде шлях

Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли Δtk→0, тоді змінна швидкість на проміжку Δtk мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T - t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max Δtk→ 0, тобто

(2)

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.

1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст

Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення

а = х0 < x1 < x2 < . < хn = b

У кожному проміжку [xk-1, xk] довжиною Δхk = хk- хk-1 оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції .

Побудуємо суму яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b].

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при , незалежна від способу ділення відрізка [а,b] на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається

Математично це означення можна записати так:

(3)

Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна за­писати у вигляді

(4)

тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему.

Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].

1.3. Основні властивості визначеного інтеграла

Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості.

1 Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А — стала, то

2 Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кіль­кості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто

3 Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто

4 Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто

для будь-якої функції f (х).

5 Якщо f (х) (х), х [а, b], то

6 Якщо m та M — найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a,b], то

7 де

8

1.4. Обчислення визначених інтегралів

Раніше ми навчились знаходити невизначені інтеграли. Тому для обчислення визначених інтегралів доцільно встановити зв'язок між ними.

2.1. Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами

Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.

Щоб мати звичне позначення, змінну верхню межу позначимо через х, а змінну інтегрування — t. Одержимо інтеграл

який є функцієюх, тобто Ф(х) =

Теорема 2. Якщо f (х) неперервна функція, то похідна ви­значеного інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї верхньої межі, тобто

(5)

Доведення. Надамо аргументу х приріст Δх, тоді функція Ф(х) одержить приріст, який згідно з властивістю 8 визначеного інтеграла можна записати у вигляді

До останнього інтеграла застосуємо властивість 7, тоді

де

Згідно з означенням похідної маємо

що й треба було довести.

Теорема 3. Визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює різниці значень будь-якої її первісної для верхньої та нижньої меж інтегрування, тобто якщо F(x) є первісна функції f (х), то має місце рівність ь

(6)

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Доведення. Нехай F(x) деяка первісна функції f (х). За теоремою 2 також первісна для f (х). Але дві первісні функції f (х) відрізняються лише на постійний доданок С. Тому

(7)

Ця рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має місце для усіх х.

Для визначення С візьмемо у формулі (7) х = а. Тоді

Отже,

Якщо у цій рівності покласти х = b, то одержимо

Змінюючи змінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), що й треба було довести.

Відмітимо, що різницю позначають часто так:

F(x) , тобто F(x)=

Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна записати у вигляді

Ця формула вказує не тільки на зв'язок визначеного інтеграла з невизначеним, але й спосіб обчислення .

Приклад 1. Обчислити

Розв’язування.

2.2. Інтегрування частинами

Якщо проінтегрувати обидві частини рівності

d[u(x) · v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x)

в межах від а до b, то одержимо

Звідси одержуємо важливу формулу інтегрування частинами визначеного інтеграла.

(8)

Приклад 2. Обчислити інтеграл xcosxdx.

Розв'язування. Нехай u = x, dv = cosxdx , тоді знаходимо du = dx, (взята первісна без сталої С). Застосовуючи до заданого інтеграла формулу (8), одержимо

2.3. Заміна змінної у визначеному інтегралі

Теорема 4. Нехай задано інтеграл , де f (х) неперервна на відрізку [а,b]. Зробимо підстановку х = (t), аtß, де (t) неперервно диференційована функція на відрізку [,ß].

Якщо: 1 при зміні t від до ß змінна х змінюється від а до b, тобто (а)= а, (ß) = b;

2 складна функція f[(t)] визначена і неперервна на відрізку [,ß], тоді має місце рівність

(9)

Доведення. Нехай F(x) деяка первісна для функції f (х), тоб­то F'(X) = f (х). Розглянемо складну функцію F [(t)]. Застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо

Це означає, що функція F[(t)] є первісною для функції

Звідси, за формулою Ньютона-Лейбніца і рівностей () = a та (ß) = b, одержуємо

що й треба було довести.

Приклад 3. Обчислити .

Розв’язування. Нехай t = , тоді t2 = 1 + хх = t2 - 1, dx= 2tdt. Знайдемо межі інтегрування, використовуючи рівність

Отже,

2.4. Методи наближеного обчислення

Для деяких неперервних надінтегральних функцій f(х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.

Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це набли­жене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.

Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.

Найбільш часто використовують три методи — метод прямо­кутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).

Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на n рівних частин довжиною і позначити через середню точку відрізку визначений інтеграл можна обчислити за фор­мулою

(10)

яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тим менше буде крок і права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.

Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення

а = х0 < x­1 < х2 < . < хk < . < хn-1 < хk = b

на n рівних частин довжиною i позначити значення функції в точках ділення f (хk), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(11)

яку називають формулою трапецій. Легко бачити, що при зростанні n крок зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним.

Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на парну кількість рівних частин (тобто n = 2m) i позначити уk = f(xk), де xk = а + х·k — точки ділення, k = 0, 1, ., 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(12)

яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення вико­ристовується метод парабол, за яким на кожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції f(х) входять до інтегральної суми.

4. Застосування визначених інтегралів

4.1. Обчислення площ

Якщо на відрізку [а,b] функція f(х)0, то згідно з форму­лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1, можна знайти за формулою

Якщо на відрізку [a, b] функція f(х)0, то криволінійна тра­пеція, обмежена кривою f(х), відрізком [а, b] та прямими х = аі х = b, буде розташована нижче осі 0х. Визначений інтеграл у цьому випадку буде 0. Але площа є невід'ємною величиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі 0х, треба знаходити за формулою

або (f(x)0)

Якщо f(х) на відрізку [а,b] декілька разів змінює свій знак, то інтеграл по відрізку [а,b] треба розбити на суму інтегралів по част­кових відрізках. Інтеграл буде додат­ним на тих відрізках, де f(х) 0 та від'ємним там, де f(х)<0. Інтеграл по відрізку [а,b] дає різницю площ, що лежать вище та нижче осі 0х (дивись Малюнок 2).

Щоб одержати суму площ (без врахування розташування відносно осі 0х) треба знайти суму абсолют­них величин інтегралів по часткових

Мал. 2

відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значення функції, тобто

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом

Розв'язування. Із аналітичної гео­метрії відомо, що цей еліпс має вигляд такий, як на Малюнку 3.

Шукана площа S дорівнює 4S1, де S1 — площа заштрихованої частини еліпса, що розташована у першому квадранті. Отже,

Із рівняння еліпса знаходимо у:

Мал. 3.

Для заштрихованої частини еліпса у0, тому і ми одержуємо

(1)

Заміна x = sin t дає: dx = cost · dt; t = arcsin x,

tB = arcsin1 = .

Отже,

За формулою (13) одержимо S = 8 ·(квадратних одиниць).

Якщо треба обчислити площу фігури, обмеженої кривими y = f1(х), y=f2(х) та прямими х = а, х = b (дивись, наприклад, Малюнок 4), то при f1(х)f2(х) її можна знайти за формулою

(14)

Мал. 4

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

та

Розв'язування. Спочатку зобразимо фігуру, площу якої треба знайти (Мал. 5). Знайдемо точку перетину цих парабол. Ко­ординати точок перетину задовольняють обом рівнянням, тому

Мал. 5

Отже, площа заштрихованої фігури буде

(квадратних одиниць).

4.2. Обчислення довжини дуги кривої.

Нехай крива на площині має рівняння у = f(х). Треба знайти довжину дуги AB цієї кривої, обмежену прямими х=ата х = b (дивись малюнок 6).

Візьмемо на AB точки А, М1, М2, ., Мn-1, В з абсцисами a, х1, х2, ., хn-1, b, відповідно, та проведемо хорди

AM1,M1M2,…,Mk-1,Mk,…,Mn-1B,

довжини яких позначимо

Одержимо ламану лінію, вписану в дугу AB. Довжиною ламаної буде

Мал. 6

Означення 1. Довжиною l дуги АВ називають границю, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбіль­шої частини прямує до нуля, тобто

Теорема 1. Якщо на відрізку [а,b] функція f(х) та її похідна f'(x) неперервні, то довжина дуги кривої у = f(х), обмеже­ної прямими х = а та х = b, обчислюється за формулою

Доведення. Із Малюнка 6 бачимо, що за теоремою Піфагора

Згідно з теоремою Лагранжа маємо:

де

Тому і довжина вписаної ламаної буде

За умовою теореми f'(х) неперервна, тому і функція також неперервна, а це означає, що існує скінченна границя

що й треба було довести.

Наслідок. Якщо дуга задана параметрична x = (t), y = , , то її довжину знаходять за формулою

4.3. Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання

Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою у =f(х), від­різком [а, b] осі 0х та прямими х = a та x = b обертається нав­коло осі 0х (Мал. 7). Тоді об'єм тіла обертання можна знайти за формулою

(17)

а площу поверхні обертання за формулою

(18)

Приклад 3. Обчислити об'єм ку­лі радіуса R.

Мал. 7

Розв'язування. Кулю можна розглядати як результат обертан­ня півкруга, обмеженого частиною кола х2 + у2 = R2, у0, навколо осі 0х.

Використовуючи рівність симетричність кола відносно осі 0у та формулу (17), одержимо об'єм V кулі

(кубічних одиниць).